Quadratic Equations (द्विघात समीकरण) Hindi Notes PDF

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 Quadratic Equations (द्विघात समीकरण) Hindi Notes PDF

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द्विघात समीकरण

(Quadratic Equations)

1. प्रस्तावना

(introcuction)

पिछली कक्षाओं में हम ऐसी द्विघात समीकरणों का अध्ययन कर चुके हैं जिनके गुणांक तथा मूल वास्तविक संख्याएँ होते हैं| इस अध्ययन में हम ऐसी द्विघात समीकरणों के बारे में अध्ययन करेंगे जिनके

2. वास्तविक बहुपद

(Real Polynomial)

A real polynomial is a polynomial with real coefficients. When it is used to define a function, the domain is not so restricted. However, a real polynomial function is a function from the reals to the reals that is defined by a real polynomial. Similarly, an integer polynomial is a polynomial with integer coefficients, and a complex polynomial is a polynomial with complex coefficients.

* बहुपद का घात (Degree of a Polynomial)

किसी वास्तविक अथवा सम्मिश्र बहुपद के चर के सबसे बड़े घात वाले पद के घातांक को उस बहुपद का घात कहते है|

ऊपर दिए गए उदाहरणों में दिए हुए बहुपदों के घात क्रमश: 2 तथा 3 हैं|

I. ऐसा बहुपद जिसका घात 1 होता है, एकघातीय बहुपद (Monomial) अथवा रैखिक बहुपद (Linear Polynomial) कहलाता है|

second derivation of quadratic equations

darivation of third equation

a, b, c को गुणांक तथा x को चर कहते हैं|

* समीकरण के मूल (Roots of an Equation)

चर के वह मान जो किसी समीकरण को सन्तुष्ट करते हैं, उस समीकरण के मूल कहलाते हैं|

I. यदि समीकरण f(x) =0 का एक मूल x1 है तो f(x1) = 0

II. किसी समीकरण के मूल ज्ञात करना उस समीकरण को हल करना कहलाता है|

* हल समुच्चय (Solution set):

दिए हुए प्रांत (Domain) में किसी समीकरण के सभी मूलों का समुच्चय उस समीकरण का हल समुच्चय कहलाता है|

fourth derivation of quadratic equation

fifth derivation of quadratic equation

इएलिए            f(α) = 0

अत: α , समीकरण f(x) = 0 का एक मूल है|

6. बीजगणित का मूल प्रमेय: एक अथवा एक से अधिक घात वाले प्रत्येक बहुपद समीकरण का कम से कम एक मूल अवश्य होता है| इस प्रमेय का प्रतिपादन जर्मन गणितज्ञ गॉस ने किया था| इसकी उत्पत्ति एक पुस्तक के कार्य क्षेत्र से बाहर है| परन्तु इसका आवश्यकतानुसार प्रयोग किया जायेगा|

7. n-घातीय समीकरण के मूलों की संख्या :

(i) प्रमेय :

n-घातीय समीकरण के n और केवल n मूल होते हैं|

उत्पत्ति: माना f(x) = 0, एक n- घातीय समीकरण है तो बीजगणित के मूल प्रमेय से समीकरण f(x) = 0 का कम से कम एक मूल अवश्य होगा|

माना समीकरण f(x) = 0 का एक मूल α1 है तो गुणनखण्ड प्रमेय से (x- α1) बहुपद f(x) का एक गुणनखण्ड होगा|

माना                f(x) = (x- α1).g1(x)

जहाँ g1(x), (n-1) घात का बहुपद है|

पुनः बीजगणित के मूल प्रमेय से समीकरण g1(x) = 0 का कम से कम एक मूल अवश्य होगा| माना समीकरण g1(x) = 0 का एक मूल α2 है तो गुणनखण्ड प्रमेय से (x- α2) बहुपद g1(x) का एक गुणनखण्ड होगा|

माना                g1(x) = (x- α2).g2(x)

जहाँ g2(x), (n-2) घात का बहुपद है|

f(x) = (x-α1).g1(x) = (x- α1) (x- α2) .g2(x)

इसी प्रकार इसी क्रम में आगे बढ़ने पर,

f(x) = (x- α1) (x- α2) (x- α3)……. (x- αn) .gn(x)

जहाँ gn(x), (n-n) अर्थात शून्य घात का बहुपद अर्थात अचर है|

माना,            gn(x) = k

तब,    f(x) = (x- α1) (x- α2) (x- α3)……….. (x- αn).k

इस प्रकार हम देखते हैं कि (x- α1), (x- α2), (x- α3),……., (x- αn), बहुपद f(x) के गुणनखण्ड है|

गुणनखण्ड प्रमेय के विलोम से α1, α2, α3,…….., αn समीकरण f(x) = 0 के n मूल हैं|

यदि x= β, प्रत्येक α से भिन्न है तो f(β) ⊃1; 0

अर्थात समीकरण f(x) = 0 का α1, α2, α3,…….., αn के अतिरिक्त कोई अन्य मूल नहीं है|

अतः n-घातीय समीकरण f(x) = 0 के n और केवल n मूल हैं|

प्रत्येक द्विघात समीकरण के दो और केवल दो मूल होते हैं|

उत्पत्ति : यहाँ हमें निम्नलिखित दो भाग सिद्ध करने होंगे;

1. प्रत्येक द्विघात समीकरण के दो मूल होते हैं|

2. प्रत्येक द्विघात समीकरण के केवल दो मूल होते हैं अर्थात द्विघात समीकरण के दो से अधिक मूल नहीं हो सकते हैं|

1. प्रत्येक द्विघात समीकरण के दो मूल होते हैं:

माना ax2+bx+c = 0, a ⊃1; 0 एक द्विघात समीकरण है|

उक्त समीकरण के दोनों पक्षों में α से गुना करने पर,

sixth derivation of quadratic equation

seventh derivation of quadratic equations

(2) में से (3) को घटाने पर,

α (β2 – γ2) + b(β – γ) = 0,   (β – γ){α (β – γ) + b } = 0

                                   β – γ ⊃1; 0

इसलिए,     α (β – γ) + b = 0           ………………(5)

(4) से (5) को घटाने पर,   α (α – γ) = 0

परन्तु यह संभव है क्यूंकि α एवं γ भिन्न है|   α ⊃1; 0

इसलिए            α (α – γ) ⊃1; 0

इस प्रकार हमारा यह मनना गलत है कि द्विघात समीकरण के तिन विभिन्न मूल हैं|

अतः द्विघात समीकरण के दो से अधिक मूल नहीं हो सकते हैं|

यहाँ हम आपको कुछ प्रश्नों के साथ उनके उत्तर उदाहरण के लिए प्रदान कर रहें हैं-

example for quadratic equations

solved answeer for the quadratic equations



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